Н.А. Панкина
канд. тех. наук, доцент

Применение методов теории массового
обслуживания для организации
оперативных процессов в магазине

       

Аннотация

 

В статье рассмотрена задача определения количества контролеров-кассиров и кассовых аппаратов в супермаркете при известном потоке покупателей, в каждый планируемый интервал времени. Может быть полезна практическим работникам розничной торговли и студентам соответствующих специальностей.

1  Понятия и определения

Рассмотрим торговый зал магазина, в который в случайные моменты времени приходит случайное количество покупателей, на обслуживание каждого из которых как продавцы, так и кассиры затрачивают какое-то время. Очевидно, что чем больше продавцов и кассиров будет занято в торговом зале, тем быстрее будут обслуживаться покупатели, но тем выше будут издержки обращения торгового предприятия и меньше его прибыль за счет увеличения расходов на оплату труда. С другой стороны, недостаточное количество продавцов или кассиров может привести к возникновению значительных очередей и потере наиболее нетерпеливых покупателей, т.е. к снижению товарооборота и в конечном итоге также к снижению прибыли. Следовательно, актуальной является задача определения оптимальной численности торгового персонала, обеспечивающего эффективное обслуживание и минимально возможные издержки.

Подобные задачи возникают при определении численности сотрудников оптового склада, определении необходимого количества торгово-технологического оборудования, организации ремонта и замены вышедшего из строя оборудования и в ряде других случаев. Их объединяет случайный характер происходящих событий и возможность возникновения очередей на обслуживание. Для решения таких задач требуется применение математико-статистических методов, разработкой которых занимается специальная математическая дисциплина - теория массового обслуживания.

В терминах теории массового обслуживания каждое требование на обслуживание (в нашем примере - покупатель) называется заявкой. Случайно появляясь в те или иные моменты времени, они образуют поток заявок. Поток заявок можно охарактеризовать его интенсивностью - средним числом заявок в единицу времени.

Обслуживающий персонал (в нашем случае - продавцы, кассиры, контролеры-кассиры) называют приборами обслуживания. Прибор обслуживания также имеет численную характеристику - интенсивность обслуживания, которая показывает, какое количество заявок может быть обслужено в среднем в единицу времени.

Приборы обслуживания, расположенные друг за другом, образуют канал обслуживания, а каждый отдельный прибор, перед которым возможно возникновение очереди, называется фазой обслуживания. Все приборы обслуживания одного предприятия образуют систему массового обслуживания (СМО). Некоторые разновидности СМО представлены на рис. 1.

 

Рис. 1: Разновидности систем массового обслуживания

Возможны и более сложные варианты, когда, например, покупатель обращается к продавцу, чтобы выбрать товар, затем оплачивает его стоимость в кассе и снова возвращается за товаром.

2  Расчет одноканальной однофазной системы массового обслуживания

Пусть продавец отдела магазина может обслужить в среднем M чел./ч. В течение часа к продавцу обращается L покупателей. Пользуясь терминами теории массового обслуживания, продавец представляет собой прибор обслуживания. Функционирование такой системы можно представить в виде одноканальной однофазной СМО (рис. 1, а). Величина L будет представлять собой интенсивность потока заявок, а M - интенсивность обслуживания.

Величина
K = L/M
называется коэффициентом загрузки системы. Если K < 1, то система в состоянии обслужить всех приходящих покупателей, в противном случае очередь будет неограниченно увеличиваться.
Все дальнейшие расчеты справедливы только для случая K < 1.
Величина K показывает, какую часть рабочего времени продавец занят обслуживанием покупателей, т.е.
Tob = K ×Tsm,
где Tob - время, занятое обслуживанием покупателей;
Tsm - продолжительность смены (без учета обеденного перерыва).
Очевидно, что свободное время продавца, когда он не занят обслуживанием, определится как
Tsv = Tsm − Tob.
Решение уравнений, описывающих данную СМО, дает возможность определить среднюю длину очереди к продавцу (т.е. количество покупателей, ожидающих в очереди) и среднее время ожидания в очереди:
R = K2 / (1 − K);    T = K / [M(1 − K)].
где R - среднее количество покупателей в очереди к продавцу; T - среднее время ожидания в очереди.
Таким образом, приведенные соотношения позволяют определить средний размер очереди к продавцу, среднее время, затрачиваемое на покупку, и время занятости продавца, что может быть использовано для рациональной организации торгового зала и определения численности персонала. Необходимые для расчета интенсивность потока покупателей L и интенсивность обслуживания M могут быть получены путем хронометража.

3  Определение количества контролеров-кассиров в супермаркете

В супермаркете, работающем по принципу самообслуживания, покупатели отбирают нужные товары, комплектуют покупку и попадают в узел расчета, где контролер-кассир осматривает товары, определяет стоимость покупки, пробивает чек и выдает сдачу. Если все контролеры-кассиры заняты, то вновь подходящие покупатели образуют очередь перед каждым из них. Следовательно, функционирование узла расчета супермаркета можно представить в виде однофазной многоканальной СМО, аналогичной показанной на рис. 1, в, с неизвестным пока количеством каналов.
Если предположить, что интенсивность обслуживания у всех контролеров-кассиров одинакова, то общий поток покупателей будет равномерно распределяться по всем контролерам-кассирам. Тогда, используя приведенные выше соотношения:
R = K12 / (1 − K1);    T = K1 / [M(1 − K1)].
где
R -среднее количество покупателей в очереди к каждому контролеру-кассиру;
T - среднее время ожидания в очереди;
M - среднее количество покупателей, которое может быть обслужено одним контролером-кассиром в единицу времени;
K1 = L1 / M - коэффициент загрузки каждого контролера-кассира;
L1 L / M - среднее число покупателей, подходящих к каждому контролеру-кассиру в единицу времени;
L - среднее число покупателей, подходящих к узлу расчета в единицу времени;
N - количество кассовых кабин узла расчета.
Это можно сделать исходя из ограничений на длину очереди и время ожидания в очереди. Так, если желательно, чтобы очередь к каждому контролеру-кассиру не превышала в среднем некоторой заданной величины Rn, то количество кассовых кабин N можно определить следующим образом:
N = L / K1 M.
Величина K1, входящая в выражение для N, вычисляется как решение квадратного уравнения
K12 + Rn K1 − Rn = 0,
где Rn - средняя допустимая длина очереди, чел.
Полученные соотношения позволяют определить количество кассовых кабин и контролеров-кассиров исходя из ограничения на длину очереди. Однако небольшая величина очереди еще не гарантирует быстрого обслуживания, поэтому в ряде случаев целесообразно осуществлять расчет исходя не из длины очереди, а из времени ожидания в очереди. В этом случае количество кассовых кабин можно определить из соотношения
N = [L(1 + Tn M)]/Tn M2,
где Tn - средняя допустимая величина времени ожидания в очереди.
Приведенные соотношения получены для случая, когда интенсивность потока покупателей и интенсивность обслуживания постоянны. В общем случае эти величины не являются постоянными. Так, например, для магазина, расположенного в жилом районе, в будние дни характерно увеличение потока покупателей в промежутке от 10 до 12 ч, когда большинство домохозяек отправляется за покупками, и от 17 до 19 ч, так как в это время заканчивается рабочий день и жители района заходят в магазин по пути с работы. В выходные и праздничные дни картина будет другая. Величина интенсивности обслуживания также может изменяться, например, в связи с усталостью работника к концу рабочего дня.
Для того чтобы учесть неравномерность потока покупателей и возможные колебания интенсивности обслуживания, необходимо разбить рабочий день на несколько интервалов, внутри которых эти величины можно с достаточной степенью точности считать постоянными, и повторить расчет величины N одним из описанных выше способов для каждого интервала и каждого дня недели. Для удобства дальнейшего использования целесообразно выбирать длительность интервала равной одному часу. Рассчитанные значения N покажут, сколько контролеров-кассиров достаточно иметь в течение каждого часа рабочего дня супермаркета в различные дни недели, а наибольшее из значений N будет соответствовать необходимому количеству кассовых аппаратов узла расчета.
Получившиеся результаты будут носить приблизительный характер, но точность их, как правило, вполне достаточна для того, чтобы рассчитать узел расчета супермаркета и составить обоснованный график выхода на работу контролеров-кассиров.

4  Приложение

Программу для расчета количества кассиров в супермаркете можно бесплатно скачать на сайте www.mnogosmenka.ru

Окно программы изображено на рисунке 2.

Рис. 2: Окно программы - «Калькулятор Н.А. Панкиной»

     

 
 
 
Как составить график работы для кассиров гипермаркета?